パズルは面白い

パズルが好きで毎日やっているわけですが、自分の軌跡を残しておきたいと、ふと思いました。

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年賀パズル(解答)

年賀パズルの解答です。

【問題】
1/A+1/B+1/C+1/D+1/E+1/F+1/G+1/H+1/I+1/2007=1
ただし、A~Iは、0<A<B<C<D<E<F<G<H<I<2007 なる整数。


【解答】
A~Iは順に、2,3,7,72,223,446,669,1561,1784

【解説】
1/2007=1/(3x3x223)ですから、分母の因数223をどうやって消去するかがポイントになります。
分母が2007以下の単位分数で223を消すには、
1/(223xN)  N:1~8 のいくつかを組み合わせて足して消すしかありません。しこしこ試行錯誤すると、
1/223x1+1/223x2+1/223x3+1/223x7+1/223x8+1/223x9
=1/(223x2x2x2x3x3x7)x(504+252+168+72+63+56)
=1/(223x2x2x2x3x3x7)x1115
=5/(2x2x2x3x3x7) で消せることがわかります。
他の組み合わせでは消せません。
あとは、この5/504になるべく少ない個数の単位分数を足して1にします。1/2、1/3、1/7、1/72の4項でできます。4項は他には無さそうです。
223を消せることを発見してもらうのが主旨で、9項(全部で10項)で1としたのは唯一解にするための細工でした。
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  1. 2007/01/13(土) 10:11:08|
  2. パズル
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:3

コメント

(9^2)*かなり大きい素数
の場合、いつもこのようなことが可能なのでしょうか?
気になります。
  1. 2007/01/13(土) 14:37:26 |
  2. URL |
  3. 数楽者 #1Qqcdk6s
  4. [ 編集]

前半は個数不定のダーツ (?) みたいな解き味でしたね。
唯一解であることは私も確認しました。

> 数楽者さん
(3^2) の書き間違いでしょうか。たまたま解があったという感じで,
一般的な解決は難しいと思います。
  1. 2007/01/13(土) 23:27:29 |
  2. URL |
  3. ちゃーみー #OsMBJjTk
  4. [ 編集]

はい。成立したのは、たまたまです。
でも、9は使うので1~8までの使い方2^8通りですから、223の倍数が1通りあるのは期待値通りでしょうか。
ちなみに、2008=2^3x251ですが、8を使って1~7の組み合わせでは、たまたま251を消すことは出来なかったと思います。
(来年の年賀パズルには使えません)
  1. 2007/01/14(日) 00:39:23 |
  2. URL |
  3. タロタロ #-
  4. [ 編集]

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